温馨提示

MML：Mathematics for Machine Learning

若移动端查看数学公式不全或显示错误

可以「复制文章链接至PC端」进行查看

2.1 矩阵

定义

由个数排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵，记作

这个数称为矩阵A的元素，简称元，位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i，j）元。

矩阵类型

常用矩阵有：

• n阶矩阵或n阶方阵
• 行矩阵
• 列矩阵
• 同型矩阵
• 零矩阵
• 对角矩阵

行数、列数都为n的矩阵称为「n阶矩阵或n阶方阵」

n阶方阵/矩阵也记作

「行矩阵」（或行向量，只有一行的矩阵）

「列矩阵」（或列向量，只有一列的矩阵）

「同型矩阵」：两个矩阵的行数、列数都相等。

如果两个矩阵是同型矩阵，且对应的元素也相等，那么称这两个矩阵相等，记作

「零矩阵」：元素都是0的矩阵

「单位矩阵」（或单位阵）：矩阵的左上角到右下角的直线（主对角线）上的元素都是1，其余元素都为0

「对角矩阵(或对角阵)」：不在主对角线上的元素都为0，也记作

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

定义

设有两个矩阵

注意：只有两个矩阵为同型矩阵（行数、列数均相同），才可以进行加法运算。

运算规律

矩阵加法满足的运算规律（设A、B、C都是m×n矩阵）

补充

设矩阵

则称为矩阵的「负矩阵」

有 (这里0表示零矩阵)

所以，矩阵的减法为

2.2.2 数与矩阵相乘

定义

数与矩阵的乘积记作或者，规定

运算规律

数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B是m×n矩阵，为数）

2.2.3 矩阵与矩阵相乘

定义

设是一个m×s矩阵，是一个s×n矩阵

那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个m×n矩阵，其中

并把此乘积记作

❝

注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

❞

运算规律

矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情况下

对于两个n阶方阵，若，则称方阵与是「可交换」的。

矩阵，但是或者是有可能为0的。（0是值0矩阵）

若，也不能说明或者

矩阵乘法满足结合律和分配律

对于单位矩阵

单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1

「矩阵的幂」

• .
• .
• .

「其他」

2.2.4 矩阵的转置

定义

转置矩阵

❝

某一个矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵

❞

m×n矩阵A

行列互换，得到A的转置矩阵，记作

为m×n矩阵，为n×m矩阵

举例

比如：

那么

运算规律

转置满足的规律

「证明」：

首先设，

记

由矩阵相乘公式 得

又的第i行为

的第j列为

所以

推出

即

所以

补充

对称矩阵

❝

若A为n阶方阵，且，那么A就是对称矩阵，简称对称阵：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。

❞

2.2.5 方阵的行列式

内容

由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作｜A｜或者detA

注意

• n阶方阵是个数按一定方式排成的数表
• n阶行列式是这些数按一定的运算法则所确定的一个数

运算规律

满足的运算规律

伴随矩阵

行列式

称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵（A是n阶方阵）

试证：

「证明」

设

由矩阵的乘法公式：

可得

又由行列式定理3

得出

其中

说明

• 当i==j时，
• i!+=j时，

在矩阵中，就是正对角线元素都为｜A｜，其他元素为0

所以

注意：

❝

｜A｜是一个常数 E是一个单位矩阵 ｜A｜E结果是一个矩阵，对角线上元素都是｜A｜

❞

同理

证明完成！

2.2.6 共轭矩阵

当为复矩阵时，

用表示的共轭复数

记

称为的共轭矩阵

其实就是把A中的每个元素替换为它的共轭复数。

共轭矩阵满足的规律

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～