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4.2 向量组的线性相关性
定义4
线性相关/无关
给定向量组：，如果存在「不全为零」的数（至少有一个不为0）使
则称向量组A是「线性相关」的
否则称其为「线性无关」（）
特殊情况
「（1）」 当 「m = 1」 时，向量组A也就只含有一个向量，即
a = 0 时， 线性相关（任意一个k都会使得 ，一定就存在一个使得，所以一定线性相关） a != 0 时， 线性无关（只有当k = 0 时，才会使得 ，所以一定线性无关）
「（2）」 当 「m = 2」 时， ，其线性相关的充分必要条件是 的分量对应成比例，几何意义是两向量共线
❝当线性相关时
得到 的分量对应成比例
反过来也一样
❞
「（3）」 当 「m = 3」 时，，其线性相关的几何意义是三向量共面
❝当线性相关时
说明 向量可以由向量合成（）
且位于位于同一平面
所以三个向量共面
❞
「（4）」 向量组线性相关，也就是向量组中至少有一个向量能由其余个向量线性表示
「证明：」
假设向量组线性相关，则有不全为0的数使得
不全为0，那么我们可以设，就有
说明可以由线性表示
「（5）」 向量组构成矩阵，向量组线性相关，就是奇次线性方程组即有非零解
定理4
由向量组线性相关的充分必要条件就是它所构成的矩阵的秩小于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件是
❝线性相关：
线性无关：
❞
举例
例4
试讨论维单位坐标向量组的线性相关性
「解答：」
是阶单位矩阵
❝单位矩阵：从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1，除此以外全都为0
❞
显然
得到
由定理4可得，维单位坐标向量组为线性无关
例5
已知
讨论向量组及向量组的线性相关性
「解答：」
可以得到
，说明线性相关
，说明线性无关
例6
已知向量组线性无关，，试证明向量组线性无关
「证法一」
设
由
推出
令
得到设
令
得到
又因为 所以
因为中的列向量都是线性无关的，所以
说明方程只有一个解，就是零解
则
由因为 说明
❝若为阶子式
❞
当时，
当时，
说明方程只有一个解，就是零解
即
只有 全为0时，式子才成立，说明线性无关
「证法二」
记作
还可以写作
因为 得到可逆
又因为均可逆
所以
❝的「充分必要条」件是存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B
❞
所以
❝上一章定理2：若，则有
❞
因为
所以
由定理4可知 线性无关
定理5
（1）若向量组「线性相关」，则向量组也「线性相关」。反言之，若向量组线性无关，则向量组也线性无关
「证明」：向量组「线性相关」，则向量组也「线性相关」
设
很明显有
由线性相关 得
所以
说明一定线性相关
「证明：向量组线性无关，则向量组也线性无关」
若线性无关 则有
因为 得到
即
因为 得
综上 有
所以 线性无关
（2）个维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关。特别地，个维向量一定线性相关
证明：
设 很明显有
又因为为维列向量 有
因为 则一定有
所以一定是线性相关
❝当依然满足$n
❞
（3）设向量组线性无关，而向量组，线性相关，则向量必定能由向量组线性表示，且表示式是惟一的
证明：
记 有
因为线性无关 、线性相关 所以
综上有
得到
在方程组中
因为
说明该方程组有惟一解
即向量b可以由向量线性表示，且是惟一的
结语
说明：
参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
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