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MML学习笔记(九):线性代数之矩阵的秩、线性方程组的解

海轰Pro | 1512 2021-09-30 21:22 0 0 0
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3.2 矩阵的秩

秩的第一种定义

对于一个m*n矩阵,一定存在一个标准形矩阵F(由A经过初等变化得到)

数r就是A的行阶梯形矩阵中非零行的个数,也就是矩阵A的秩

k阶子式子

在m * n矩阵A中,「任意取」k行、k列(k<=m 且 k<=n) ,位于这些「行列交叉处」个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式子

m*n矩阵A的k阶子式一共有

秩的第二种定义

假设在矩阵A中,「存在一个」不等于0的r阶子式D,且「所有的 r+1 阶子式」(存在的情况下)全等于0,那么D就称为矩阵A的最高阶非零子式,数r就是矩阵A的秩,记作

规定零矩阵的秩等于0

当A中所有的r+1阶子式都为0时,那么所有高于r+1阶的子式也全等于0.

因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式,而A的秩就是A的非零子式的最高阶数

若A为m*n矩阵,那么有

若A为n阶子式

  • 当|A|!=0时,R(A)=n
  • 当|A|=0时,R(A)<n

说明,可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,而不可逆矩阵的秩则小于矩阵的阶数。所以,可逆矩阵称为满秩矩阵,不可逆矩阵为降秩矩阵

(以上为n阶方阵的情况下,

若矩阵秩等于行数,称为行满秩;若矩阵秩等于列数,称为列满秩。

既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。

行满秩矩阵就是行向量线性无关,列满秩矩阵就是列向量线性无关;所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。)

定理2

,则有

推论

若可逆矩阵P、Q,使得,则

所以,依据定理2,求一个矩阵的秩,只需要将矩阵进行一系列初等行变化变为行阶梯形矩阵,其中非零行的行数就是该矩阵的秩

秩的基本性质

矩阵秩的一些基本性质

(1)

(2)

(3)若,则有

(4)若P、Q可逆,则

(5) 特别地,当B=b为非零列向量时,有

(6)

(7)

(8)若,则

证明:

首先 毋庸置疑

推出

分别对A、B进行「列变换」 将其转换为 「列阶梯形」矩阵,设为

中分别含有r个和t个非零列

所以

所以

因为中有 r+t 个非零列

所以

所以

综上 由(1)(2)式 得

「证明:

首先设为m*n矩阵

对矩阵通过做列变换得到

分别减去对应加上的列即可

所以

所以有

3.3 线性方程组的解

定理3

对于元线性方程组

(1)无解的充分必要条件是

(2)有唯一解的充分必要条件是

(3) 有无限多解的充分必要条件是

定理4

元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

首先 肯定有一个0解 还需要有非零解 说明解不止一个 所以

定理5

线性方程组有解的充分必要条件是

定理6

矩阵方程组有解的充分必要条件是

结语

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助,如有错误欢迎小伙伴指正~

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