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3.2 矩阵的秩
秩的第一种定义
对于一个m*n矩阵,一定存在一个标准形矩阵F(由A经过初等变化得到)
数r就是A的行阶梯形矩阵中非零行的个数,也就是矩阵A的秩
k阶子式子
在m * n矩阵A中,「任意取」k行、k列(k<=m 且 k<=n) ,位于这些「行列交叉处」的个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式子
m*n矩阵A的k阶子式一共有个
秩的第二种定义
假设在矩阵A中,「存在一个」不等于0的r阶子式D,且「所有的 r+1 阶子式」(存在的情况下)全等于0,那么D就称为矩阵A的最高阶非零子式,数r就是矩阵A的秩,记作
❝规定零矩阵的秩等于0
❞
当A中所有的r+1阶子式都为0时,那么所有高于r+1阶的子式也全等于0.
因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式,而A的秩就是A的非零子式的最高阶数
若A为m*n矩阵,那么有
若A为n阶子式
当|A|!=0时,R(A)=n 当|A|=0时,R(A)<n
说明,可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,而不可逆矩阵的秩则小于矩阵的阶数。所以,可逆矩阵称为满秩矩阵,不可逆矩阵为降秩矩阵
❝(以上为n阶方阵的情况下,
若矩阵秩等于行数,称为行满秩;若矩阵秩等于列数,称为列满秩。
既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。
行满秩矩阵就是行向量线性无关,列满秩矩阵就是列向量线性无关;所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。)
❞
定理2
若,则有
推论
若可逆矩阵P、Q,使得,则
❝所以,依据定理2,求一个矩阵的秩,只需要将矩阵进行一系列初等行变化变为行阶梯形矩阵,其中非零行的行数就是该矩阵的秩
❞
秩的基本性质
矩阵秩的一些基本性质
(1)
(2)
(3)若,则有
(4)若P、Q可逆,则
(5) 特别地,当B=b为非零列向量时,有
(6)
(7)
(8)若,则
证明:
首先 毋庸置疑
推出
设
分别对A、B进行「列变换」 将其转换为 「列阶梯形」矩阵,设为
则中分别含有r个和t个非零列
所以
所以
因为中有 r+t 个非零列
所以
所以
综上 由(1)(2)式 得
「证明:」
首先设为m*n矩阵
对矩阵通过做列变换得到
❝分别减去对应加上的列即可
❞
所以
所以有
3.3 线性方程组的解
定理3
对于元线性方程组
(1)无解的充分必要条件是
(2)有唯一解的充分必要条件是
(3) 有无限多解的充分必要条件是
定理4
元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
❝首先 肯定有一个0解 还需要有非零解 说明解不止一个 所以
❞
定理5
线性方程组有解的充分必要条件是
定理6
矩阵方程组有解的充分必要条件是
结语
文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助,如有错误欢迎小伙伴指正~
